NYダウ【^DJI】の掲示板 2022/08/13〜2022/08/14

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多生＝何度も生まれ変わること
他生＝前世および来世

このことから、「袖触れ合うも他生の縁」は俗語表現となります。
意味は通じるので決定的な間違いではないといえますが、「袖触れ合うも多生の縁」と書くのがよいでしょう。
https://biz.trans-suite.jp/19737

「多生の縁」は「他生の縁」と書くこともあります。
「他生」も仏教用語で、前世と来世とのことです。
「他生」と書くのは俗用とされていて、容認されてはいるものの、正しい書き方としては「多生」と覚えておくほうがよいでしょう。
https://www.shizensyokuhin.jp/archives/articles/268